Progressão Aritmética de Segunda Ordem

Uma progressão aritmética de segunda ordem de uma sequência de números tal que a diferença dos termos sucessivos é uma progressão aritmética.
(a) Mostre que [tex](4, \ 6, \ 11, \ 19,\ 30,\ 44)[/tex] é uma progressão aritmética de segunda ordem.
(b) Ache o décimo termo da progressão [tex](4, \ 6, \ 11, \ 19,\ 30,\ 44, \ \cdots)[/tex].
(c) Prove que o termo geral de uma progressão aritmética de segunda ordem se escreve como [tex]a_{n+1}=an^2+bn+c[/tex], em que [tex]a,\ b[/tex] e [tex]c[/tex] são constantes.

Probleminha2

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 04, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema.
Resolvido o problema, postem suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas.
Bons estudos!

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4 comentários

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  1. (a) Uma PA de segunda ordem é uma sequência em que a diferença entre seus termos formam uma PA de primeira ordem [(6-4=2), (11-6=5), (19-11=8), (30-19=11) e (44-30=14)], se pegarmos os resultados das subtrações (2, 5, 8, 11, 14) formará uma PA se primeira ordem com a razão 3. Então a sequência (4, 6, 11, 19, 30, 44) é uma PA de segunda ordem.

    (b) Utilizando-se o termo geral da PA de segunda ordem, sabemos que o décimo termo é igual ao primeiro termo somado com a soma dos extremos das PA de primeira ordem vezes a razão (que é a quantidade de termos) divididos por dois {a10 = a1 + [(b1+b9).r/2]}, para descobrir o último termo da PA de primeira ordem ou b9 utilizaremos a fórmula [bn = b1 + (n-1).r], assim descobriremos que o último termo é igual a 26, agora substituindo na fórmula {a10 = 4 + [(2+26).9/2]} descobriremos que o valor do décimo. Logo décimo termo é 130.

    (c) Usando as fórmulas (2.A=razão da PA de primeira ordem), (3.A+B=b1) e (A+B+C=5), descobriremos os valores de A, B e C, que são respectivamente (1,5), (-2,5) e (5), utilizaremos também (n = 10 que é a quantidade de termos da PA de segunda ordem), com isso substituiremos na formula (an+1 = an² + bn + c), mas antes temos que notar que não estamos procurando o a10, mas sim o a11, pois no começo da fórmula temos (an+1) que se substituímos o valor de n descobriremos que estamos procurando o a11, então o valor de n passa a ser no resto da fórmula 11, agora substituindo ficará [a11 = 1,5.11² + (-2,5).11 + 5), que terá como resultado (a11 = 159).
    Pra conferir usamos (a11 – a10 = b10) e (b10 – b9 = r), com isso acharemos a razão 3. Logo podemos prova que a fórmula do termo geral pode ser escrita dessa forma (an+1 = an² + bn + c).

  2. Oi Octeto Matemático!
    Começara desenvolvendo muito bem a questão! Letras a e b estão corretíssimas!
    No item c, vocês mostraram, caso seja dada uma PA de segunda ordem, como encontrar os termos a, b e c. Gostaria que demonstrassem como chegamos a tal fórmula.
    Estou gostando muito da participação de vocês!

  3. Utilizando o termo geral dado no problema descobriremos as formulas (2a=r), (3a+b=B1), (a+b+c=A1):

    Substituindo o valor “n” pelo número de cada termo, descobriremos as formulas que corresponde a ele.

    An= an² + bn + c

    A1= a(1)² + b(1) + c = (a + b + c)
    {a + b + c = A1}

    A2= a(2)² + b(2) + c = (4a + 2b + c)

    A3= a(3)² + b(3) + c = (9a + 3b + c)

    Aqui descobrirmos a primeira fórmula (a+b+c=A1).

    Agora vamos descobrir a formula da primeira diferença, para isso subtraímos o segundo termo pelo primeiro e o terceiro termo pelo segundo, mas também temos que substitui os valores de A1, A2 e A3 por suas fórmulas.

    A2 – A1 = B1
    (4a + 2b + c) – (a + b + c) = (3a + b)
    {3a + b = B1}

    A3 – A2 = B2
    (9a + 3b + c) – (4a + 2b + c) = (5a + b)

    Com isso achamos a segunda formula (3a+b=B1), e também fórmula correspondente ao B2.

    E pra descobrir a formula da segunda diferença (ou formula da razão), subtraímos as formulas de B2 e B1.

    B2 – B1 = r
    (5a + b) – (3a + b) = (2a)
    {2a = r}

    Então descobrimos que (2a=r), ou seja, descobrimos todas as formulas.

  4. Ainda não estão corretos os valores de [tex]a,\;b[/tex] e [tex]c[/tex]. Observe que no item (b) , na solução vocês colocaram que [tex] a_{10}=a_{1}+\dfrac{(b_1+b_9)r}{2}[/tex], onde o correto seria [tex] a_{10}=a_{1}+\dfrac{(b_1+b_9)(10-1)}{2}[/tex].
    Pensando nessa fórmula, correta, qual seria a fórmula para o [tex]a_{n+1}[/tex]?? Encontrando essa fórmula e manipulando vocês conseguirão chegar nos valores corretos de [tex]a,\;b[/tex] e [tex]c[/tex]..

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