Função par, função ímpar

Uma função [tex]f: A \rightarrow B[/tex], com [tex]A,B \subset \mathbb{R} [/tex], é dita uma função par, se[tex] f(-x)=f(x)[/tex], para todo [tex]x \in A.[/tex]
Se [tex] f(-x)=-f(x)[/tex], para todo [tex] x \in A[/tex], então [tex]f[/tex] é dita uma função ímpar.
Por exemplo, a função
[tex]\qquad \begin{align*} f: ~& \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ & f(x)=x^2 \end{align*}[/tex]
é uma função par, já que
[tex]\qquad f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x), \forall~x~\in~\mathbb{R}.[/tex]
Já a função
[tex]\qquad \begin{align*} f: ~& \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ & f(x)=x^3 \end{align*}[/tex]
é ímpar, uma vez que
[tex]\qquad f(-x)=(-x)^3=\left((-1) \cdot (x)\right)^3=(-1)^3 \cdot (x)^3=-\left(x^3\right)=-f(x), \forall~x~\in~\mathbb{R}.[/tex]
No entanto a função
[tex]\qquad \begin{align*} f: ~& \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\\ & f(x)=x^3-1 \end{align*}[/tex]
não é par e nem ímpar. Por exemplo,
[tex]f(-1)=-2 \ne 0=f(1)~ [/tex] e [tex]~f(-1)=-2 \ne 0=-f(1). [/tex]




Considere a função definida por[tex] f(x)=\dfrac{x}{1-2^x}-\dfrac{x}{2}.[/tex]
(a) Determine o domínio de [tex] f[/tex].
(b) [tex]f[/tex] é uma função par, ou ímpar ou nem par e nem ímpar ?

Desafio2

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9 comentários

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  1. (a) O domínio da função obrigatoriamente valor de x tem que ser diferente de zero pelo fato de tratar-se de uma fração, pois a divisão por zero é inexistente, e também o valor de x pode ser qualquer numero que pertence ao pertente ao conjunto de números inteiros. Logo o domínio de F é igual ao x pertencendo ao conjunto de números inteiros e X sendo diferente de zero (D(f)= {x e R / x ≠ 0}.

    (b) Utilizando-se os valores de x como 2 e -2 na função [F(x)= x/(1−2^x) − x/2] obteremos como resultado das operações o valor de [f(2) = −(5/3) ≠ 0] e [f(-2)= −(5/3) ≠ 0]. Logo a função acima é ímpar.

  2. (a) O domínio da função obrigatoriamente valor de x tem que ser diferente de zero pelo fato de tratar-se de uma fração, pois a divisão por zero é inexistente, e também o valor de x pode ser qualquer numero que pertence ao pertente ao conjunto de números inteiros. Logo o domínio de F é igual ao x pertencendo ao conjunto de números inteiros e X sendo diferente de zero (D(f)= {x e R / x ≠ 0}.

    (b) Utilizando-se os valores de x como 2 e -2 na função [F(x)= x/(1−2^x) − x/2] obteremos como resultado das operações o valor de [f(2) = −(5/3) ≠ 0] e [f(-2)= −(5/3) ≠ 0]. Logo a função acima não é par e nem impar.

  3. Olá Octeto Matemático!

    O item a está correto. Parabéns.

    Com relação ao item b, acredito que não compreenderam bem a definição da função ser par ou ímpar. No exemplo trabalhado, em que [tex]f(x)=x^3-1,[/tex] o número [tex]0[/tex] foi utilizado pois era o valor de [tex]f(-1)[/tex]. Nele demonstrou-se que [tex]f(-1)\neq f(1)[/tex] e [tex]f(-1)\neq -f(1)[/tex], por isso a função não era nem par nem ímpar.

    Que tal tentar fazer o item b novamente?

  4. Utilizando-se os valores de x como 2 e -2 na função [F(x)= x/(1−2^x) − x/2] obteremos como resultado das operações o valor de [f(2) = −(5/3) e [f(-2)= −(5/3)], então podemos dizer que [f(2) = f(-2)], outra forma de descobrir se a função é par ou ímpar é pelo gráfico, no caso de uma função par as coordenadas cartesianas são inversas em relação ao eixo x, como por exemplo, (2, -5/3) e (-2, -5/3). Logo a função acima é uma função par.

  5. Olá Octeto Matemático!

    Infelizmente você realizou análise apenas para um número. Teremos que demonstrar para todo número real…
    Dessa forma calcule [tex]f(x)[/tex] e [tex]f(-x)[/tex] e tente demonstrar que os resultados são iguais [tex]\forall x[/tex].

  6. Utilizando-se as fórmulas:
    F(x) = x/1-2^x – x/2
    F(-x) = (-x)/1-2^(-x) – (-x)/2

    Com o valor de x sendo qualquer número pertencente ao conjunto de números reais, veremos que F(x) e F(-x) sempre terão os mesmo resultado, logo [F(x) = F(-x)] e também poderemos ver uma simetria no gráfico, entre as coordenadas (x,y) e (-x,y), como se no lugar do eixo y tivesse um espelho. Logo podemos dizer que a função é uma função par.

    1. Octeto Matemático..
      Ainda não provaram que [tex]f(-x)=f(x)[/tex]. Devem manipular a expressão da [tex]f(-x)[/tex] e chegar na expressão da [tex]f(x)[/tex]. Tentem novamente.

  7. Igualando as expressões f(x) e f(-x) [x/1-2^x – x/2 = (-x)/1-2^(-x) – (-x)/2], e a reescrevendo e determinado os sinais, chegaremos a este ponto na expressão [x/1-2^x – x/2 = – (x.2^x)/2^x-1 + x/2], onde poderemos mandar tudo o que tem letra para um lado e assim igualando a expressão a zero [x/1-2^x – x/2 + (x.2^x)/2^x-1 – x/2 = 0], depois calculando a diferença de -x/2 e -x/2 chegaremos a -x, com isso, poderemos colocar como único denominador o valor de (2^x – 1), então a expressão ficará assim {[-x – x(2^x – 1) +x +x.2^x]/(2^x – 1) = 0}, aqui resolveremos o parêntese e depois cortaremos o valor de (-x) com (x) e [-x.(2^x)] com [x.(2^x)], sobrando por fim [0/(2^x) = 0], resolvendo a divisão por zero, temoremos com resultado [0 = 0], com isso, podemos provar que [F(x)=F(-x)], Logo a função [x/1-(2^x) – x/2], é uma função par.

    1. OCTETO, a sua demostração está quase lá.

      O mais usual era que você fizesse uma suposição de que [tex]f(x) \not=f(-x)[/tex] e chegasse a um absurdo, concluindo que [tex]0 \not=0[/tex].

      Que tal começar assim?

      ” Supondo que [tex]f(x) \not=f(-x)[/tex], então termos que …”

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