Área de um quadrilátero

Na figura, o hexágono regular [tex]ABCDEF [/tex] está inscrito no círculo de centro [tex]O. [/tex]

Se a distância entre os vértices [tex]A~[/tex]e [tex]~B[/tex] é [tex]4~cm[/tex], qual a área do quadrilátero [tex]ABOF [/tex]?

Desafio2

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4 comentários

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  1. O hexágono pode ser dividido em três paralelogramos: ABOF, DEOC, EFOD. O paralelogramo ABOF tem tem a distância entre o vértice A e B de 4 cm, então a distância de A e F também é de 4 cm. Dividindo-se o paralelogramo ABOF em dois triângulos: AFB e OFB. Seguindo a lógica, os dois são de mesma área. O triângulo AFB=4*4/2= 8 cm². Como são dois triângulos, então será 8*2=16cm²

    • OBMEP_jz em 5 de outubro de 2018 às 16:25

    Oi Octeto Matemático,

    começaram a dissertar a questão com uma ideia bastante interessante. Mas, infelizmente, cometeram um erro no cálculo da área do triângulo AFB: observem que a altura do triângulo não é igual a 4…
    Que tal tentar refazer a questão?

  2. O polígono da fígura é regular, tendo em vista que o raio da circunferência é a medida do lado OF que corresponde à medida do lado AB (4cm). Também, observa-se que sendo um hexágono regular, ao traçar a diagonal do paralelogramo ABOF, obtém-se dois traiângulos equiláteros. Da mesma forma, por ser um polígono regular, podemos obter as medidas dos ângulos centrais.360°/6 = 60° e perceber que a medida do ângulo AÔB mede 60°. Para determinar a área de um triângulo equilátero, basta usar a relação A=b.h/2. Neste caso, a altura corresponde ao apótema que corresponde à mediana e à bissetriz do triângulo AÔB. Daí, vem:
    h=a=r*√(3)/2
    h=4*√(3)/2
    h=2*√(3)cm.
    Para determinar a área do triângulo AÔB, tem-se:
    A=b*h/2
    A=4*2√(3)/2
    A=4*√(3)cm²
    Logo, o paralelogramo ABOF corresponde à soma das áreas dos triângulos AÔB e AÔF que é igual a 8√(3)cm², que é de aproximadamente, 13,86cm²

      • OBMEP_bsr em 21 de outubro de 2018 às 23:51

      A solução está correta, Octeto.

      Parabéns.

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