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dez 11

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Álgebra de matrizes

Sejam [tex]X=\left(\begin{array}{cc}
x_1 & x_2 \\
x_3 & x_4
\end{array}\right)[/tex] uma matriz quadrada de tamanho [tex]2\times 2[/tex], [tex]t(X)=x_1+x_4[/tex] o traço de [tex]X[/tex] e [tex]D(X)=x_1x_4-x_3x_2[/tex] o determinante de [tex]X[/tex]. Considerando [tex]s=\sqrt{D(X)}[/tex] e [tex]t=\sqrt{t(X)+2s}[/tex] prove que:

(a) Se [tex]t\neq 0[/tex] então a matriz [tex]R[/tex], dada por
[tex]R=\dfrac{1}{t}\left(\begin{array}{cc}
x_1+s & x_2 \\
x_3 & x_4+s
\end{array}\right)[/tex],
é uma raiz quadrada de [tex]X[/tex], isto é, [tex]R^2=R\cdot R=X[/tex].

(b) Seja [tex]C[/tex] a matriz quadrada dada por
[tex]C=\left(\begin{array}{cc}
-2 & -1 \\
0 & 0
\end{array}\right)[/tex].
Encontre uma matriz [tex]X[/tex] de tamanho [tex]2\times 2[/tex] que seja solução da equação matricial de segundo grau
[tex]X^2+ X+C=\left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array}\right).[/tex]

Probleminha2

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 14, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema.
Resolvido o problema, postem suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas.
Bons estudos!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2017/12/algebra-de-matrizes/

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