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fev 27

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Ataque o problema pela raiz

 

Sendo [tex]\alpha[/tex] a maior raiz da equação [tex]x^2 – x – 1 = 0[/tex], determine [tex]\alpha^5 – 5\alpha[/tex] sem calcular [tex]\alpha[/tex].

 

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 2, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema.
Resolvido o problema, postem suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas.
Bons estudos!


Problema2
 

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2017/02/72984/

4 comentários

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  1. Se alfa é raiz, podemos chamar alfa de x :

    x^5 – 5.x —- x(x^4 – 5 ) —– x((x^2+√5)(x^2 -√5))

    Pela equação x^2 – x-1 = 0

    Temos que x^2 + √5 = x+1+√5 e que x^2 -√5 = x+1-√5

    Substituindo :

    x((x+√5+1)(x+√5+1)) — x(x^2 + 2x – 4)

    Novamente pela equação ,temos que :

    x^2 + 2x = 3x+1

    x(3x+1-4) — x(3x – 3) —- 3x^2 – 3x

    Finalmente , pela equação temos que :

    3x^2 – 3x = 3

    Logo ,

    x^5 – 5x = 3

    1. OBMEP_rb

      A resposta está correta, mas vocês escreveram uma passagem errada. Revejam seus cálculos e postem novamente a solução sem erros.

  2. Se alfa é raiz, podemos chamar alfa de x :

    x^5 – 5.x —- x(x^4 – 5 ) —– x((x^2+√5)(x^2 -√5))

    Pela equação x^2 – x-1 = 0

    Temos que x^2 + √5 = x+1+√5 e que x^2 -√5 = x+1-√5

    Substituindo :

    x((x+√5+1)(x+√5-1)) — x(x^2 + 2x – 4)

    Novamente pela equação ,temos que :

    x^2 + 2x = 3x+1

    x(3x+1-4) — x(3x – 3) —- 3x^2 – 3x

    Finalmente , pela equação temos que :

    3x^2 – 3x = 3

    Logo ,

    x^5 – 5x = 3

    1. OBMEP_lels

      Revejam essa parte da solução de vocês:

      x((x+√5+1)(x+√5-1)) — x(x^2 + 2x – 4)

      Não entendi, em que ajudou x(x^4 – 5 ) —– x((x^2+√5)(x^2 -√5)).

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