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nov 27

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Apagando números e quadrados perfeitos

Agora que Francimar descobriu que adora números que são quadrados perfeitos (veja o problema desta semana), ele resolveu explorar suas propriedades. Primeiro, ele escreveu os números naturais de [tex]1[/tex] a [tex]21[/tex] em uma folha de papel. Agora, quer apagar alguns deles de modo que o resultado do produto dos números restantes seja um quadrado perfeito.

i.) Mostre que, para Francimar conseguir seu objetivo, então necessariamente os números [tex]11[/tex], [tex]13[/tex], [tex]17[/tex] e [tex]19[/tex] devem estar entre os que ele apagar.

ii.) Qual é a menor quantidade de números que Francimar deve apagar para atingir seu objetivo?

Probleminha2

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 01, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema.
Resolvido o problema, postem suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas.
Bons estudos!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2016/11/apagando-numeros-e-quadrados-perfeitos/

2 comentários

  1. Paralelo 38

    i) Tal afirmação se deve ao fato de que os fatores primos 11, 13, 17 e 19 aparecem apenas uma vez no produto 21x20x19x18x….x3x2x1.

    ii) Como 21! = 21x20x19x18x….x3x2x1 = 2^18×3^9×5^4×7^3x11x13x17x19 = 3x7x11x13x17x19x(2^9×3^4×5^2×7)^2, deve-se retirar os fatores 3, 7, 11, 13, 17 e 19, pois na decomposição em fatores primos do produto 21x20x19x18x….x3x2x1 tais fatores aparecem um número ímpar de vezes.

    Portanto, a menor quantidade de números que devem ser retirados são 5: 11, 13, 17, 19 e 21(=3×7).

  2. OBMEP_cv

    Ótimo, Paralelo 38!
    Raciocínio correto e claro! :)

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