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out 03

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O Buraco do Triângulo

A figura abaixo é formada por 4 polígonos. Ao tentarmos formar a mesma figura com outra disposição dos polígonos, surge um buraco. Onde está o erro? De onde o buraco surgiu?

PROBLEMA GEOMETRIA

Probleminha2

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal: a partir do dia 06, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala de Problemas do Fórum e procurem pela dica para este problema.
Resolvido o problema, postem suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas.
Bons estudos!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2016/10/o-buraco-do-triangulo/

10 comentários

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  1. Matemáticos do Érico

    Observando a imagem, podemos perceber que o triângulo vermelho tem 3 quadradinhos a mais de largura e 1 a mais de altura em relação ao verde escuro, então o polígono amarelo era totalmente ocupado pela base do triângulo verde escuro.Como o triângulo vermelho tem três quadradinhos a mais de largura do que o verde e 1 a mais de altura, o polígono amarelo teve que se “adaptar” ao tamanho do triângulo, “caindo” um quadradinho para baixo e três para o lado, como o polígono verde tem espaço de 2 quadrados no seu lado, quando o polígono amarelo (que tem 3 quadradinhos de espaço no seu lado) cai esses quadradinhos sobra um, pois os 3 quadradinhos disponíveis dele menos os 2 do verde é igual à 1.

    1. OBMEP_lels

      Matemáticos do Érico, o questionamento feito envolve áreas. Visualmente parece que a segunda figura é a primeira figura retirada um quadrado, mas como é possível reduzir a área se foram utilizadas as mesmas peças?

  2. Os artméticos

    Se usarmos cada quadrado como 1m2, observarmos que através do calculo de área fazendo o somatório das áreas dos polígonos: triângulo vermelho+triângulo verde+polígono laranja+polígono verde;
    SOMA DAS ÁREA DOS POLÍGONOS= 12+5+7+8=32m2
    Então, teríamos 32 m2, já se fizermos o calculo da área da figura inteira, do triângulo maior, teremos 32, 5m2:
    ÁREA DO TRIÂNGULO MAIOR= 13×5/2=32, 5m2
    Logo existe uma diferença de 0, 5 m2.

    1. OBMEP_lels

      Se utilizamos os mesmo polígonos, como explicar essa “diferença de áreas”?

  3. Os artméticos

    O buraco surgiu por causa que os polígonos foram reorganizados ocupando o mesmo espaço, só que com outra configuração, que não permite que seja ocupado o mesmo espaço sem deixar um buraco.

    1. OBMEP_lels

      Não entendi! Tentem construir os polígonos em cartolina e coloque-os sobre uma malha quadriculada. Investiguem mais e continuem pensando a respeito.

  4. Os artméticos

    Quando trocamos os triângulos semelhantes de lugar observarmos que área para ser preenchida aumenta e o s dois polígonos que não são semelhantes continuam com a mesma área.
    Exemplo: comparo com uma arrumação dos móveis numa sala, num layout cabe os móveis se trocar o layout já não cabe.

    1. OBMEP_rb

      Caros amigos do clube, percebo que entenderam o exercício, mas ainda não conseguiram fechar o raciocínio completo. Sigam a orientação dada no comentário do moderador anterior: “Tentem construir os polígonos em cartolina e coloque-os sobre uma malha quadriculada. Investiguem mais e continuem pensando a respeito.”

      Façam isso.

  5. Os artméticos

    Achamos que os dois triângulos não são semelhantes, pois com a ajuda do jogo geogebra pudemos perceber que quando formamos o triângulo maior com as peças, os dois menores ficam com uma curva para dentro da figura no primeiro caso, e para fora da figura no segundo caso, isso porque os ângulos deles são diferentes então chegamos a conclusão de que o espaço em branco na figura, tem a mesma área do espaço que ficou para fora no segundo caso, e que no primeiro caso não
    Ficou um buraco porque a curva está para dentro.

    1. OBMEP_rb

      Caros Aritméticos, repito minhas palavras do comentário anterior:

      “Tentem construir os polígonos em cartolina e coloque-os sobre uma malha quadriculada.”

      Abraço.

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